Sterne? Das sind doch die Zentralgestirne von Planeten-Systemen. Nun, nicht nur in der Feiertagszeit sind Sterne eine beliebte Dekoration. Auch als Markensymbole und Wappeninhalte haben Sterne in unterschiedlichen Formen eine beachtliche Bedeutung.   

Gezeichnete Sterne

Diese Sterne sind gezackt, so ab drei Zacken aufwärts. Hier mal eine Sammlung in je vier Varianten von fünf- bis sechzehn-zackig:

Im Sinne der klassischen Definition gelten nur die Sterne der dritten Zeile – als Strichkonstruktion – als «echte» Sterne. Die Sterne in der zweiten Zeile kommen, wenn  auch mit Farbe gefüllt, diesen «echten» Sternen am nächsten.

• Der Fünfstern wird auch als Pentagramm bezeichnet. Dieser Stern wird mittels Sehnen als Verbindung von fünf gleichmässig auf einem Kreis verteilten Punkten konstruiert.
• Als Hexagramm wird ein Stern mit sechs Zacken bezeichnet. Konstruktion auch hier mit sechs gleichmässig über einen  Kreisumfang verteilten Punkten – zu zwei gleichseitigen Dreiecken verbunden.
• Mit sieben Zacken folgt das Heptagramm. Auch wieder sieben gleichmässig um einen Kreis verteilte Punkte. Und da gibt es bereits Konstruktionsvarianten: entweder wird jeweils von einem Punkt aus mit dem übernächste Punkt verbunden oder sogar der über-übernächste Punkt, also wie die Strichkonstuktion dritte Zeile von oben, dritter Stern von links.
• Das Oktagramm kann aus zwei um 45 Winkelgrade verschobenen Quadraten konstruiert werden. Auch hier können acht gleichmässig um einen Kreis verteilte Punkte verbunden werden, jeweils mit dem über-übernächsten Punkt.
• Der neunzackige Stern besteht entweder wie oben dritte Zeile, fünfter Stern von links aus drei jeweils um 40 Winkelgrade verschobene gleichseitige Dreiecken. Oder auch hier funktioniert die Konstruktion über gleichmässig über einen Kreis verschobene Punkte.
• Der zehnzackige Stern lässt sich aus zwei Pentagrammen zusammensetzen. Für den fünfzehn-zackigen Stern braucht es demnach drei Pentagramme.
• Auch der elfzackige und der dreizehn-zackige Stern orientieren sich an den gleichmässig um den Kreis verteilten Punkten.
• Der zwölfzackige und der fünfzehn-zackige Stern können aus vier respektive fünf gleichseitigen Dreiecken konstuiert werden.
• Der zwölfzackige Stern lässt sich auch aus drei Vierecken zeichnen – für den sechzehn-zackigen Stern braucht es vier Vierecke.
• Der vierzehn-zackige Stern wiederum besteht aus zwei Heptagrammen.

Illustration der Fünfzehn-Zacken-Varianten

Bei zahlreichen Zacken gibt es mehrere Varianten zur Darstellung der Sterne, hier am Beispiel des Fünfzehn-Zackers. Gezeichnet mit fünf Dreiecken, dann drei Fünfecken/Pentagrammen, und als ein Fünfzehn-Zacker, von links nach rechts der Aufbau, am rechten Rand zur Wiederholung in einheitlicher Farbe. Selbst ein Illustrations-Stern kann unterschiedlich konstruiert werden, mit verschiedenen Erscheinungsformen, immer aber mit gleich vielen Zacken.

Spielen mit Geometrie

Die ausgefüllten Gebilde gelten aus geometrischer Sicht nicht zwingend als Sterne, ausser sie entsprechen der Vorgabe, dass alle Kanten jeweils als eine Kreissehne entstanden aus der Verbindung von zwei der um den Kreis gleichmässig verteilten Zackenpunkte entstehen. Alle anderen Formen sind als als konkave und/oder überschlagene Polygone zu bezeichen. Das als elfzackiger Stern wahrgenommene Gebilde ist geometrisch betrachtet ein zweiundzwanzig-eckiges konkaves Polygon.

Der siebenzackige Stern ist somit als regelmässig überschlagenes Polygon zu bezeichen, zumindest in der Darstellung zweite Zeile von oben, dritter Stern von links.

Ich habe diese Sterne, die konkaven und/oder überschlagenen Polygone mit den bildgebenden Funktionen der PHP-Skriptsprache zeichnen lassen. Das «Bild» wird dadurch zum geometrischen Zeichenbrett mit X-Y-Koordinaten. Für die Berechungen der Zackenpunkte der Sterne oder der Ecken der Polygone braucht es daher auch Cosinus- und Sinusfunktionen. Dies ist die Erklärung für den Titel «Geometrie»-Spielereien.

Für die Darstellung auf der Grusskarte habe ich Zufallsfunktionen verwendet. Es ist für mich offen, ob regelmässige Zackensterne oder Polygone besser aussehen als zufällig leicht «verzerrte» Gebilde.

Ich bin regelmässig am Uetliberg unterwegs – hin und wieder zeige ich eine Auswahl dieser Unterwegs-Bilder auf meiner Bildergalerien-Internet-Site. Auch wenn ich während des Jahres 2021 85 mal zu Fuss den Uetliberg erreicht habe, gibt es in meinem Bildarchiv kein Bildsujet, welches ich vom exakt gleichen Standort immer wieder aufgenommen habe.

Es gibt zahlreiche Webcams, von denen ein Archiv von Bildern vom immer gleichen Standort im Internet verfügbar ist.

Zum Spielen mit dem Farben-Durchschnitt solcher Bilder habe ich das Archiv der Webcam bei der Maighels-Hütte SAC (Val Maighels, Region Oberalppass, Gemeinde Tujetsch, Kanton Graubünden) der SAC Sektion Piz Terri verwendet. Die Webcam hat Südblick, im Bildausschnitt zu sehen sind der Piz Borel, der Glatscher da Maighels und der Passo Bornengo.

Stand Anfang Januar 2022 reichte das Webcam-Archiv bis ins Jahr 2017 zurück; allerdings ist seit 11. September 2021 eine neue Webcam in Betrieb. Für das erste Spielen habe ich mich auf die im Webcam-Archiv bis Ende 2021 verfügbaren 328 Bilder, täglich um etwa 9, 12 und 15 Uhr aufgenommen und abgespeichert, beschränkt.

Das erste Ergebnis dieser Spielereien

Hier eine Mischung von Herbst- und Winteransichten:

Zum Vergleich: immer noch eine Mischung von Herbst- und Winteransichten, zusätzlich noch mit den Winter-Bildern von Januar 2022:

Ab etwa Mitte Februar 2022 sind im Webcam-Archiv meist nur noch Bilder von Morgenzeitpunkt verfügbar. Mit Bildern seit September 2021 bis Mitte Februar 2022 sieht der Durchschnitt so aus:

Als weitere Variante: das Jahres-Durchschnittsbild der Webcam Maighelshütte vom 1. November 2021 bis und mit 31. Oktober 2022 jeweils um 9 Uhr – der Durchschnitt von 356 Bildern! 

Jedes einzelne Bild – bis auf die auch verfügbaren Wolken- und Nebelbilder – zeigt diverse Akzente, Helligkeits- und/oder Farbhöhepunkte, aber auch zum Beispiel abgestellte Velos oder sitzende oder stehende Personen. Die Sonne und allfällige Wolken prägen den Himmel. Derartige Akzente und Effekte verschwinden wie eigentlich erwartet im Durchschnittsbild.

Übertragen zum Beispiel auf das Leben: wenn es denn überhaupt einen Durchschnitt gibt, würde dieser wesentlich anders aussehen als die einzelnen Momente, mit sowohl positiv wie negativ wahrgenommen Elementen. Vielleicht ist darum die Antwort auf die Begrüssungsfrage «Wie geht es dir?» nicht immer einfach.

Wie entsteht das Durchschnittsbild?

Ich habe dazu ein PHP-Script mit etwa 64 Code-Zeilen geschrieben. Die zu verwendenden Bild-Dateien aus dem Archiv der Maighels-Webcam werden eingelesen. An jedem Bildpunkt werden Rot-, Gelb- und Blauwert bestimmt (je auf einer Skala von 0 bis 255) und in einer Matrix aufsummiert. Nach Auswertung aller Bilddateien werden aus der Matrix die Durchschnittswerte an Rot, Gelb und Blau für jeden Bildpunkt berechnet.

Die im Archiv abgelegten Bilder haben eine Breite von 1920 und eine Höhe von 1200 Pixeln. Es wären somit fast 7 Mio Farbwerte abzuspeichern. Dies übersteigt die Laufzeit-Vorgaben für ein PHP-Script. Deshalb wird vor der Auswertung die Bildgrösse auf einen Viertel reduziert; das Durchschnittsbild hat somit eine Breite von 960 und eine Höhe von 600 Pixeln.  

Durchschitts-Durchschnittsbilder

Vorerst nochmals das Jahres-Durchschnittsbild vom 1. November 2011 bis zum 31. Oktober 2022:

Zum Vergleich (auf 30 Prozent der Grösse reduziert) die Durchschnittsbilder der 12 Monate:

PS: Das Startbild zeigt drei reale Ausschnitte aus dem Archiv der Webcam bei der Maighelshütte– und unten rechts den gleichen Ausschnitt des Durchschnittsbildes.

Durchschnittsbilder zu den Zeitpunkten meiner Uetliberg-Wanderungen

Auch auf Uto Kulm wird eine Webcam betrieben.  2021 war ich auf 85 Wanderungen vom Friesenberg aus am Uetliberg zum Uto Kulm und zurück nach Friesenberg unterwegs. Dazu zwei Durchschnittsbilder der Webcam, eines Richtung Stadt Zürich, eines Richtung Zürichsee und Alpenbogen.  

Etwas ganz anderes: Wie sieht die durchschnittliche CH-Bundesratsperson aus? Berechnet aus im Internet publizierten Bildern der Bundesrätinnen und Bundesräte sieht dies etwa so aus:

Eine weitere Zahlenspielerei

Erste Fassung: 1. Januar 2022. Aktualisierungen 7. Januar 2022, 9. Januar 2022, 31. Januar 2022, 18. Februar 2022, 29. August 2022, 11. September 2022, 1. November 2022

aprilschERZ – mehr dazu

kantonSPARlament – wird darum in Parlamenten soviel über das Sparen parliert?

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Zur Abwechslung: Laaaaangwörter

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