{"id":8704,"date":"2022-12-28T22:47:15","date_gmt":"2022-12-28T21:47:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/?p=8704"},"modified":"2023-01-02T19:00:15","modified_gmt":"2023-01-02T18:00:15","slug":"geometrie-spielereien","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/geometrie-spielereien","title":{"rendered":"Geometrie-Spielereien"},"content":{"rendered":"\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-8705 alignleft\" src=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_1.jpg\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"600\" srcset=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_1.jpg 600w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_1-300x300.jpg 300w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_1-150x150.jpg 150w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_1-120x120.jpg 120w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 984px) 61vw, (max-width: 1362px) 45vw, 600px\" \/>Meine <a title=\"FROHE FESTTAGE 2022 \u2013 EIN GUTES NEUES JAHR 2023\" href=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/frohe-festtage-2022-ein-gutes-neues-jahr-2023\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Feiertags- und Neujahrskarte<\/a> enth\u00e4lt einige zuf\u00e4llig dargestellte Sterne \u2013 das Ergebnis einer Geometrie-Spielerei. Nachtrag 2. Januar 2023: Es gibt zus\u00e4tzlich eine <a title=\"EIN GUTES NEUES JAHR 2023\" href=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/ein-gutes-neues-jahr-2023\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">digitale Neujahrskarte mit 23 farbigen 23-zackigen Sternen und sternf\u00f6rmigen Polygonen<\/a>.&nbsp; <!--more--><\/p>\n<p>Sterne? Das sind doch die Zentralgestirne von Planeten-Systemen. Nun, nicht nur in der Feiertagszeit sind Sterne eine beliebte Dekoration. Auch als Markensymbole und Wappeninhalte haben Sterne in unterschiedlichen Formen eine beachtliche Bedeutung.&nbsp; &nbsp;<\/p>\n<h3>Gezeichnete Sterne<\/h3>\n<p>Diese Sterne sind gezackt, so ab drei Zacken aufw\u00e4rts. Hier mal eine Sammlung in je vier Varianten von f\u00fcnf- bis sechzehn-zackig:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-8707\" src=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_3.jpg\" alt=\"\" width=\"800\" height=\"450\" srcset=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_3.jpg 800w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_3-300x169.jpg 300w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_3-768x432.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 984px) 61vw, (max-width: 1362px) 45vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>Im Sinne der klassischen Definition gelten nur die Sterne der dritten Zeile \u2013 als Strichkonstruktion \u2013 als \u00abechte\u00bb Sterne. Die Sterne in der zweiten Zeile kommen, wenn&nbsp; auch mit Farbe gef\u00fcllt, diesen \u00abechten\u00bb Sternen am n\u00e4chsten.<\/p>\n<ul>\n<li>Der <a href=\"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Pentagramm\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">F\u00fcnfstern<\/a> wird auch als Pentagramm bezeichnet. Dieser Stern wird mittels Sehnen als Verbindung von f\u00fcnf gleichm\u00e4ssig auf einem Kreis verteilten Punkten konstruiert.<\/li>\n<li>Als Hexagramm wird ein Stern mit sechs Zacken bezeichnet. Konstruktion auch hier mit sechs gleichm\u00e4ssig \u00fcber einen&nbsp; Kreisumfang verteilten Punkten \u2013 zu zwei gleichseitigen Dreiecken verbunden.<\/li>\n<li>Mit sieben Zacken folgt das Heptagramm. Auch wieder sieben gleichm\u00e4ssig um einen Kreis verteilte Punkte. Und da gibt es bereits Konstruktionsvarianten: entweder wird jeweils von einem Punkt aus mit dem \u00fcbern\u00e4chste Punkt verbunden oder sogar der \u00fcber-\u00fcbern\u00e4chste Punkt, also wie die Strichkonstuktion dritte Zeile von oben, dritter Stern von links.<\/li>\n<li>Das Oktagramm kann aus zwei um 45 Winkelgrade verschobenen Quadraten konstruiert werden. Auch hier k\u00f6nnen acht gleichm\u00e4ssig um einen Kreis verteilte Punkte verbunden werden, jeweils mit dem \u00fcber-\u00fcbern\u00e4chsten Punkt.<\/li>\n<li>Der neunzackige Stern besteht entweder wie oben dritte Zeile, f\u00fcnfter Stern von links aus drei jeweils um 40 Winkelgrade verschobene gleichseitige Dreiecken. Oder auch hier funktioniert die Konstruktion \u00fcber gleichm\u00e4ssig \u00fcber einen Kreis verschobene Punkte.<\/li>\n<li>Der zehnzackige Stern l\u00e4sst sich aus zwei Pentagrammen zusammensetzen. F\u00fcr den f\u00fcnfzehn-zackigen Stern braucht es demnach drei Pentagramme.<\/li>\n<li>Auch der elfzackige und der dreizehn-zackige Stern orientieren sich an den gleichm\u00e4ssig um den Kreis verteilten Punkten.<\/li>\n<li>Der zw\u00f6lfzackige und der f\u00fcnfzehn-zackige Stern k\u00f6nnen aus vier respektive f\u00fcnf gleichseitigen Dreiecken konstuiert werden.<\/li>\n<li>Der zw\u00f6lfzackige Stern l\u00e4sst sich auch aus drei Vierecken zeichnen \u2013 f\u00fcr den sechzehn-zackigen Stern braucht es vier Vierecke.<\/li>\n<li>Der vierzehn-zackige Stern wiederum besteht aus zwei Heptagrammen.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Illustration der F\u00fcnfzehn-Zacken-Varianten<\/h3>\n<p>Bei zahlreichen Zacken gibt es mehrere Varianten zur Darstellung der Sterne, hier am Beispiel des F\u00fcnfzehn-Zackers. Gezeichnet mit f\u00fcnf Dreiecken, dann drei F\u00fcnfecken\/Pentagrammen, und als ein F\u00fcnfzehn-Zacker, von links nach rechts der Aufbau, am rechten Rand zur Wiederholung in einheitlicher Farbe. Selbst ein Illustrations-Stern kann unterschiedlich konstruiert werden, mit verschiedenen Erscheinungsformen, immer aber mit gleich vielen Zacken.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-8711\" src=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_6.jpg\" alt=\"\" width=\"460\" height=\"375\" srcset=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_6.jpg 460w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_6-300x245.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 460px) 85vw, 460px\" \/><\/p>\n<h3>Spielen mit Geometrie<\/h3>\n<p>Die ausgef\u00fcllten Gebilde gelten aus geometrischer Sicht nicht zwingend als Sterne, ausser sie entsprechen der Vorgabe, dass alle Kanten jeweils als eine Kreissehne entstanden aus der Verbindung von zwei der um den Kreis gleichm\u00e4ssig verteilten Zackenpunkte entstehen. Alle anderen Formen sind als als konkave und\/oder \u00fcberschlagene Polygone zu bezeichen. Das als elfzackiger Stern wahrgenommene Gebilde ist geometrisch betrachtet ein zweiundzwanzig-eckiges konkaves Polygon.<\/p>\n<p>Der siebenzackige Stern ist somit als regelm\u00e4ssig \u00fcberschlagenes Polygon zu bezeichen, zumindest in der Darstellung zweite Zeile von oben, dritter Stern von links.<\/p>\n<p>Ich habe diese Sterne, die konkaven und\/oder \u00fcberschlagenen Polygone mit den bildgebenden Funktionen der PHP-Skriptsprache zeichnen lassen. Das \u00abBild\u00bb wird dadurch zum geometrischen Zeichenbrett mit X-Y-Koordinaten. F\u00fcr die Berechungen der Zackenpunkte der Sterne oder der Ecken der Polygone braucht es daher auch Cosinus- und Sinusfunktionen. Dies ist die Erkl\u00e4rung f\u00fcr den Titel \u00abGeometrie\u00bb-Spielereien.<\/p>\n<p>F\u00fcr die Darstellung auf der Grusskarte habe ich Zufallsfunktionen verwendet. Es ist f\u00fcr mich offen, ob regelm\u00e4ssige Zackensterne oder Polygone besser aussehen als zuf\u00e4llig leicht \u00abverzerrte\u00bb Gebilde.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-8708\" src=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_4.jpg\" alt=\"\" width=\"800\" height=\"450\" srcset=\"https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_4.jpg 800w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_4-300x169.jpg 300w, https:\/\/www.umweltnetz.ch\/content\/wp-content\/uploads\/2022\/12\/sterne221228_4-768x432.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 984px) 61vw, (max-width: 1362px) 45vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; <br>&nbsp;<\/p>\n\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Meine Feiertags- und Neujahrskarte enth\u00e4lt einige zuf\u00e4llig dargestellte Sterne \u2013 das Ergebnis einer Geometrie-Spielerei. 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